প্রমাণ কর যে, চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল হলে, তা একটি সামন্তরিক।
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বচনঃ
মনে করি, ABCD একটি চতুর্ভুজ। এর AD=BC, AB=CD এবং AD।।BC, AB।।CD. প্রমাণ করতে হবে যে, ABCD একটি সামন্তরিক।
অঙ্কনঃ
A, C যোগ করি।
প্রমাণঃ
AB।।DC ও AC তাদের ছেদক
∴∠BAC=∠DCA [একান্তর কোণ]
আবার, AD।।BC ও AC তাদের ছেদক
∴∠DAC=∠BCA [একান্তর কোণ]
এখন, △ADC ও △ABC এ
∠BAC=∠DCA
∠DAC=∠BCA
AC সাধারণ বাহু
∴△ADC ≅ △ABC
তাহলে, ∠ABC=∠ADC
অনুরুপভাবে, ∠BAD=∠BCD
∴ABCD একটি সামন্তরিক।
প্রমাণ কর যে, সামন্তরিকের একটি কর্ণ একে দুইটি সর্বসম ত্রিভুজে বিভক্ত করে।
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বচনঃ
মনে করি, ABCD একটি সামন্তরিক যার একটি কর্ণ AC. প্রমাণ করতে হবে যে, AC কর্ণ ABCD সামন্তরিককে সমান দুই ভাগে ভাগ করে অর্থাৎ △ABC ≅ △ADC.
প্রমাণঃ
যেহেতু ABCD সামন্তরিক সেহেতু AB।।DC ও AD।।BC
এখন, AB।।DC ও AC তাদের ছেদক
∴∠BAC=∠DCA [একান্তর কোণ]
আবার, AD।।BC ও AC তাদের ছেদক
∴∠DAC=∠BCA [একান্তর কোণ]
এখন, △ADC ও △ABC এ
∠BAC=∠DCA
∠DAC=∠BCA
AC সাধারণ বাহু
∴△ADC ≅ △ABC (প্রমাণিত)
অষ্টম শ্রেণী : গণিত : চতুর্ভূজ : দেওয়া আছে, △ABC এর মধ্যমা BO কে D পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করি যেন BO=OD হয়। প্রমাণ করতে হবে যে, ABCD একটি সামন্তরিক।
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বচনঃ
দেওয়া আছে, △ABC এর মধ্যমা BO কে D পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করি যেন BO=OD হয়। প্রমাণ করতে হবে যে, ABCD একটি সামন্তরিক।
প্রমাণঃ
△ABC এ
CO=AO [BO মধ্যমা বলে]
এখন, △COB ও △DOA এ
CO=AO [BO মধ্যমা বলে]
BO=DO [শর্তানুসারে]
∠COB=∠DOA [বিপ্রতীপ কোণ]
∴△COB ≅ △DOA
তাহলে, AD=CB
অনুরুপভাবে পাই, CD=AB
∴ ABCD একটি সামন্তরিক (প্রমাণিত)
