অষ্টম শ্রেণী: গণিত: প্রথম অধ্যায়: প্যাটার্ন: লেকচার-০৩ (অনুশীলনীর সমাধান)

১) নিচের জ্যামিকিত চিত্রগুলো কাঠি দিয়ে তৈরি করা হয়েছে।

ক) কাঠির সংখ্যার তালিকা তৈরি কর।

খ) তালিকার পরবর্তী সংখ্যাটি কিভাবে বের করবে তা ব্যাখ্যা কর।

গ) কাঠি দিয়ে পরবর্তী চিত্রটি তৈরি কর এবং উত্তর যাচাই কর।

ভিডিও লেকচার দেখুন: 

সমাধান:

ক)

১ম চিত্রে কাঠির সংখ্যা = ৪

২য় চিত্রে কাঠির সংখ্যা = ৭

৩য় চিত্রে কাঠির সংখ্যা = ১০

অতএব, কাঠির সংখ্যার তালিকা ৪, ৭, ১০, .......

খ)

১ম চিত্রে কাঠির সংখ্যা = ৪ = ৩+১ = ৩×১+১

২য় চিত্রে কাঠির সংখ্যা = ৭ = ৬+১ = ৩×২+১

৩য় চিত্রে কাঠির সংখ্যা = ১০ = ৯+১ = ৩×৩+১

এভাবে, ক তম চিত্রে কাঠির সংখ্যা = ৩×ক+১

চিত্রানুযায়ী, কাঠির সংখ্যার বীজগাণিতিক রাশি হবে ৩ক+১

গ) কাঠি দিয়ে পরবর্তী চিত্রটি হবে নিম্নরূপ:

খ থেকে প্রাপ্ত বীজগাণিতিক রাশি অনুযায়ী ৪র্থ চিত্রে কাঠির সংখ্যা হবে ৩×৪+১ = ১৩টি।

চিত্রে গণনা করে দেখা যায় যে, তালিকার ৪র্থ চিত্রে কাঠির সংখ্যা ৪+৩+৩+৩=১৩

সুতরাং তালিকার ৪র্থ চিত্রে কাঠির সংখ্যা ১৩ (ইহা সঠিক)

২) দিয়াশলাইয়ের কাঠি দিয়ে নিচের ত্রিভুজগুলোর প্যাটার্ন তৈরি করা হয়েছে।

ক) চতুর্থ চিত্রে দিয়াশলাইয়ের কাঠির সংখ্যা বের কর।

খ) প্যাটার্নটির পরবর্তী সংখ্যাটি কিভাবে বের করবে তা ব্যাখ্যা কর।

গ) শততম প্যাটার্ন তৈরিতে কতগুলো দিয়াশলাইয়ের কাঠির প্রয়োজন?

সমাধান:

ক) প্যাটার্নগুলোতে দিয়াশলাইয়ের কাঠির সংখ্যা যথাক্রমে ৩, ৫, ৭

অর্থাৎ প্রতিবার ২ করে বাড়ছে।

অতএব, চতুর্থ প্যাটার্নে দিয়াশলাইয়ের কাঠির সংখ্যা হবে ৭+২=৯টি।

খ)

১ম চিত্রে কাঠির সংখ্যা = ৩ = ২+১ = ২×১+১

২য় চিত্রে কাঠির সংখ্যা = ৫ = ৪+১ = ২×২+১

৩য় চিত্রে কাঠির সংখ্যা = ৭ = ৬+১ = ২×৩+১

এভাবে, ক তম চিত্রে কাঠির সংখ্যা = ২×ক+১

চিত্রানুযায়ী, কাঠির সংখ্যার বীজগাণিতিক রাশি হবে ২ক+১

উপরোক্ত বীজগাণিতিয় রাশিতে পরবর্তী পদসংখ্যা বসিয়ে কাঠির সংখ্যা নির্ণয় করা যায়।

প্যাটার্নটির পরবর্তী সংখ্যা হবে ২×৪+১ = ৯টি

সুতরাং তালিকার পরবর্তী সংখ্যাটি হবে ৯

গ) খ থেকে প্রাপ্ত বীজগাণিতিয় রাশিটি হচ্ছে ২ক+১

সুতরাং, শততম প্যাটার্নে দিয়াশলাইয়ের কাঠির প্রয়োজন ২×১০০+১ = ২০১টি।

৩) ৫, ১৩, ২১, ২৯, ৩৭, ......

ক) ২৯ ও ৩৭ কে দুটি বর্গের সমষ্টিরূপে প্রকাশ কর।

খ) তালিকার পরবর্তী ৪টি সংখ্যা নির্ণয় কর।

গ) তালিকার প্রথম ৫০টি সংখ্যার সমষ্টি নির্ণয় কর।

সমাধান:

ক)

২৯ = ৪+২৫ = ২^২+৫^২

৩৭ = ১+৩৬ = ১^২+৬^২

খ)

প্রদত্ত তালিকা: ৫, ১৩, ২১, ২৯, ৩৭, ........

এখানে পরপর দুটি সংখ্যার পার্খক্য ৮ অর্থাৎ প্রতিবার ৮ করে বাড়ছে।

অতএব, তালিকার পরবর্তী ৪টি সংখ্যা হবে,

৩৭+৮ = ৪৫

৪৫+৮ = ৫৩

৫৩+৮ = ৬১

৬১+৮ = ৬৯

সুতরাং তালিকার পরবর্তী ৪টি সংখ্যা হবে: ৪৫, ৫৩, ৬১ ও ৬৯।

গ) প্রদত্ত তালিকা: ৫, ১৩, ২১, ২৯, ৩৭, ........

এখানে,

১ম পদ ৫ = ৮-৩ = ৮×১-৩

২য় পদ ১৩ = ১৬-৩ = ৮×২-৩

৩য় পদ ২১ = ২৪-৩ = ৮×৩-৩

এভাবে, ক তম পদ = ৮ক-৩

তালিকাটির বীজগাণিতিক রাশি ৮ক-৩

সুতরাং তালিকাটির ৫০তম পদ = ৮×৫০-৩ = ৪০০-৩ = ৩৯৭

তালিকাটির ১ম ৫০ পদ হচ্ছে, ৫, ১৩, ২১, ২৯, ৩৭, ........, ৩৯৭

এখানে, ১ম পদ = ৫

শেষ পদ = ৩৯৭

পদসংখ্যা = ৫০

সুতরাং, তালিকাটির ১ম ৫০ পদের সমষ্টি,

{(১মপদ + শেষপদ)×পদসংখ্যা}/২ = {(৫+৩৯৭)×৫০}/২ = ৪০২×২৫ = ১০০৫০

সুতরাং, নির্ণেয় সমষ্টি ১০০৫০।