চাকরির পড়াশোনা : বিসিএস গণিত : প্রাথমিক আলোচনা : Job Math : লেকচার-০৩

 

ভাজ্য, ভাজক ও ভাগশেষ

মনে করি,        a        ÷       b       =       c

                   ভাজ্য                ভাজক              ভাগফল

ভাজ্য (Dividend) : যে রাশিকে ভাগ করা হয়, তাকে ভাজ্য বলে।

ভাজক (Divisor) : যে রাশি দ্বারা ভাগ করা হয়, তাকে ভাজক বলে।

ভাগফল (Quotient) : ভাগফল একটি পূর্ণ সংখ্যা হলে দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য বলা হয়।

বিভাজ্যতা (Divisibility) :

২ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা : একক স্থানীয় অঙ্ক ০ বা জোড় সংখ্যা হবে।

যেমন: ৫৪৪, ২ দ্বারা বিভাজ্য।                 কারণ একক স্থানীয় অঙ্ক ২ (জোড় সংখ্যা)

            ৫৪৫, ২ দ্বারা অবিভাজ্য।              কারণ একক স্থানীয় অঙ্ক ৫ (বিজোড় সংখ্যা)

৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা : একক ও দশক স্থানের অঙ্ক দুইটি দ্বারা গঠিত সংখ্যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য হবে। আবার একক ও দশক উভয় স্থানের অঙ্ক ০ হলে প্রদত্ত সৎখ্যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য হবে।

যেমন: ৫৪৪, ৪ দ্বারা বিভাজ্য।                 কারণ ৪৪, ৪ দ্বারা বিভাজ্য। 

            ৫৪৫, ৪ দ্বারা অবিভাজ্য।              কারণ ৪৫, ৪ দ্বারা অবিভাজ্য।

৫ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা : সংখ্যাটির একক স্থানীয় অঙ্ক ০ বা ৫ হবে।

যেমন: ৩২০, ৫ দ্বারা বিভাজ্য।                কারণ একক স্থানীয় অঙ্ক ০।

            ৩২৫, ৫ দ্বারা বিভাজ্য।                কারণ একক স্থানীয় অঙ্ক ৫।

            ৩১৯, ৫ দ্বারা অবিভাজ্য।             কারণ একক স্থানীয় অঙ্ক ৯।

৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা: সংখ্যাটির অঙ্কগুলোর সমষ্টি ৩ দ্বারা বিভাজ্য।

যেমন: ৩১৮, ৩ দ্বারা বিভাজ্য।                কারণ ৩ + ১ + ৮ = ১২, ৩ দ্বারা বিভাজ্য।

            ৩১৯, ৩ দ্বারা অবিভাজ্য।             কারণ ৩ + ১ + ৯ = ১৩, ৩ দ্বারা অবিভাজ্য।

৯ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা : সংখ্যাটির অঙ্কগুলোর সমষ্টি ৯ দ্বারা বিভাজ্য হবে।

যেমন: ২৮৮, ৯ দ্বারা বিভাজ্য।                 কারণ ২ + ৮ + ৮ = ১৮, ৯ দ্বারা বিভাজ্য।

            ২৮৯, ৯ দ্বারা অবিভাজ্য। কারণ ২ + ৮ + ৯ = ১৯, ৯ দ্বারা অবিভাজ্য।

 

বিভিন্ন প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষার প্রশ্নোত্তর

১) ৩৬ সংখ্যাটির মোট কতগুলো ভাজক রয়েছে?

ক) ৬টি

খ) ৮টি

গ) ৯টি

ঘ) ১০টি

উত্তর: গ) ৯টি

সমাধান: ৩৬     = ২ × ১৮

                        = ২ × ২ × ৯

                        = ২ × ২ × ৩ × ৩

                        = ২^২ × ৩^২

সুতরাং নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা = (২ + ১) × (২ + ১) = ৯

 

২) ৭২ সংখ্যাটির মোট ভাজক আছে কতটি?

ক) ৯টি

খ) ১০টি

গ) ১১টি

ঘ) ১২টি

উত্তর: ঘ) ১২টি

সমাধান: ৭২       = ২ × ৩৬

                        = ২ × ২ × ১৮

                        = ২ × ২ × ২ × ৯

                        = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩

                        = ২^৩ × ৩^২

সুতরাং নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা = (৩ + ১) × (২ + ১) = ১২

 

৩) ৫৪০ সংখ্যাটির কতগুলো ভাজক আছে?

ক) ১৮টি

খ) ২০টি

গ) ২২টি

ঘ) ২৪টি

উত্তর: ঘ) ২৪টি

সমাধান: ৫৪০    = ২ × ২৭০

                        = ২ × ২ × ১৩৫

                        = ২ × ২ × ৩ × ৪৫

                        = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ১৫

                        = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৩ × ৫

                        = ২^২ × ৩^৩ × ৫^১

সুতরাং নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা = (২ + ১) × (৩ + ১) × (১ + ১) = ২৪

যেকোনো সংখ্যার মৌলিক উৎপাদকগুলো বের করে তাদেরকে সূচকের সাহায্যে প্রকাশ করতে হবে। ভাজক সংখ্যা হবে প্রত্যেকটি উৎপাদকের সূচকের সঙ্গে ১ যোগ করে প্রাপ্ত সংখ্যাগুলোর ধারাবাহিক গুণফলের সমান।

 

৪) ১০০৮ এর কতটি ভাজক আছে?

ক) ২০টি

খ) ২৪টি

গ) ২৮টি

ঘ) ৩০টি

উত্তর: ঘ) ৩০টি

সমাধান: ১০০৮ = ২ × ৫০৪

                        = ২ × ২ × ২৫২

                        = ২ × ২ × ২ × ১২৬

                        = ২ × ২ × ২ × ২ × ৬৩

                        = ২ × ২ × ২ × ২ × ৩ × ২১

                        = ২ × ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৭

                        = ২^৪ × ৩^২ × ৭^১

সুতরাং নির্নেয় ভাজক সংখ্যা = (৪ + ১) × (২ + ১) × (১ + ১) = ৩০

৫) নিঃশেষে বিভাজ্য না হলে কোনটি নির্ভুল?

ক) ভাজ্য = (ভাজক × ভাগফল) + ভাগশেষ

খ) ভাজ্য = (ভাগশেষ × ভাগফল) + ভাজক

গ) ভাজ্য = (ভাজক + ভাগশেষ) + ভাগফল

ঘ) ভাজ্য = (ভাজক + ভাগফল) + ভাগশেষ

উত্তর: ক) ভাজ্য = (ভাজক × ভাগফল) + ভাগশেষ

৬) ১২ ও ৯৬ এর মধ্যে (এই দুটি সংখ্যাসহ) কয়টি সংখ্যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য?

ক) ২১

খ) ২২

গ) ২৩

ঘ) ২৪

উত্তর: খ) ২২টি

সমাধান: ১ থেকে ৯৬ পর্যন্ত ৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা আছে = ৯৬ ÷ ৪ = ২৪টি

কিন্তু এর মধ্যে ৪ ও ৮ আছে যা ১২ অপেক্ষা ছোট ও ৪ দ্বারা বিভাজ্য।

সুতরাং ১২ ও ৯৬ এর মধ্যে ৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা = ২৪ – ২ = ২২টি

৭) নিচের কোনটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য?

ক) ২১৪১৩৩

খ) ৫১০০৫৬

গ) ৩২২৫৬৯

ঘ) ৯৫২২১৭

উত্তর: খ) ৫১০০৫৬

সমাধান: একক  দশক স্থানের অঙ্ক দুইটি দ্বারা গঠিত সংখ্যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য হলে সংখ্যাটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য। এখানে, ৫১০০৫৬ এর শেষ দুটি অঙ্ক অর্থাৎ ৫৬ যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য। (৫৬ ÷ ৪ = ১৪)

৮) নিচের কোনটি ২ এবং ৭ দ্বারা বিভাজ্য?

ক) ৩৬৫

খ) ৩৬২

গ) ৩৬১

ঘ) কোনটিই নয়।

উত্তর: কোনোটিই নয়।

ব্যাখ্যা : ৩৬১ এবং ৩৬৫ সংখ্যাদ্বয় ২ দ্বারা বিভাজ্য নয়।

৩৬২ সংখ্যাটি ২ দ্বারা বিভাজ্য হলেও ৭ দ্বারা বিভাজ্য নয়।

৯) ৯ দ্বারা বিভাজ্য ৩ অঙ্ক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার প্রথম অঙ্ক ৩, তৃতীয় অঙ্ক ৮ হলে মধ্যম অঙ্কটি কত?

ক) ৬

খ) ৭

গ) ৮

ঘ) ৯

উত্তর: খ) ৭

সমাধান:

ক) ৩ + ৬ + ৮ = ১৭;    ৯ দ্বারা বিভাজ্য নয়।

খ) ৩ + ৭ + ৮ = ১৮;     ৯ দ্বারা বিভাজ্য।

গ) ৩ + ৮ + ৮ = ১৯;     ৯ দ্বারা বিভাজ্য নয়।

ঘ) ৩ + ৯ + ৮ = ২০;     ৯ দ্বারা বিভাজ্য নয়।

 

১০) ৩২ এবং ৬৪ এর ভাজক সংখ্যার পার্থক্য কত?

ক) ৩

খ) ২

গ) ১

ঘ) ০

উত্তর: গ) ১

সমাধান: ৩২ = ২ × ২ × ২ × ২ × ২ = ২^৫                        ভাজক সংখ্যা = ৫ + ১ = ৬

৬৪ = ২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ২ = ২^৬                              ভাজক সংখ্যা = ৬ + ১ = ৭

পার্থক্য = ৭ – ৬ = ১

 

১১) নিম্নলিখিত সংক্যাগুলোর মধ্যে কোনটির ভাজক সংখ্যা বিজোড়?

ক) ২০৪৮

খ) ১০২৪

গ) ৫১২

ঘ) ৪৮

উত্তর: খ) ১০২৪

সমাধান: পূর্ণ বর্গসংখ্যার ভাজক সংখ্যা বিজোড়। উপরিউক্ত সংখ্যাগুলোর মধ্যে শুধুমাত্র ১০২৪ পূর্ণবর্গ সংখ্যা।