ভাজ্য,
ভাজক ও ভাগশেষ
মনে
করি, a ÷ b = c
ভাজ্য ভাজক
ভাগফল
ভাজ্য
(Dividend) : যে রাশিকে ভাগ করা হয়, তাকে ভাজ্য বলে।
ভাজক
(Divisor) : যে রাশি দ্বারা ভাগ করা হয়, তাকে ভাজক বলে।
ভাগফল
(Quotient) : ভাগফল একটি পূর্ণ সংখ্যা হলে দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য বলা হয়।
বিভাজ্যতা
(Divisibility) :
২
দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা : একক স্থানীয় অঙ্ক ০ বা জোড় সংখ্যা হবে।
যেমন:
৫৪৪, ২ দ্বারা বিভাজ্য। কারণ একক স্থানীয় অঙ্ক ২ (জোড় সংখ্যা)
৫৪৫, ২ দ্বারা অবিভাজ্য। কারণ একক স্থানীয় অঙ্ক ৫ (বিজোড় সংখ্যা)
৪
দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা : একক ও দশক স্থানের অঙ্ক দুইটি দ্বারা গঠিত সংখ্যা ৪ দ্বারা
বিভাজ্য হবে। আবার একক ও দশক উভয় স্থানের অঙ্ক ০ হলে প্রদত্ত সৎখ্যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য
হবে।
যেমন:
৫৪৪, ৪ দ্বারা বিভাজ্য। কারণ ৪৪, ৪ দ্বারা বিভাজ্য।
৫৪৫, ৪ দ্বারা অবিভাজ্য। কারণ ৪৫, ৪ দ্বারা অবিভাজ্য।
৫
দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা : সংখ্যাটির একক স্থানীয় অঙ্ক ০ বা ৫ হবে।
যেমন:
৩২০, ৫ দ্বারা বিভাজ্য। কারণ একক স্থানীয় অঙ্ক ০।
৩২৫, ৫ দ্বারা বিভাজ্য। কারণ একক স্থানীয় অঙ্ক ৫।
৩১৯, ৫ দ্বারা অবিভাজ্য। কারণ একক স্থানীয় অঙ্ক ৯।
৩
দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা: সংখ্যাটির অঙ্কগুলোর সমষ্টি ৩ দ্বারা বিভাজ্য।
যেমন:
৩১৮, ৩ দ্বারা বিভাজ্য। কারণ ৩ + ১ + ৮ = ১২, ৩ দ্বারা বিভাজ্য।
৩১৯, ৩ দ্বারা অবিভাজ্য। কারণ ৩ + ১ + ৯ = ১৩, ৩ দ্বারা অবিভাজ্য।
৯
দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা : সংখ্যাটির অঙ্কগুলোর সমষ্টি ৯ দ্বারা বিভাজ্য হবে।
যেমন:
২৮৮, ৯ দ্বারা বিভাজ্য। কারণ ২ + ৮ + ৮ = ১৮, ৯ দ্বারা বিভাজ্য।
২৮৯, ৯ দ্বারা অবিভাজ্য। কারণ ২ + ৮ + ৯ = ১৯, ৯ দ্বারা অবিভাজ্য।
বিভিন্ন প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষার প্রশ্নোত্তর
১) ৩৬
সংখ্যাটির মোট কতগুলো ভাজক রয়েছে?
ক)
৬টি
খ)
৮টি
গ)
৯টি
ঘ)
১০টি
উত্তর:
গ) ৯টি
সমাধান:
৩৬ = ২ × ১৮
= ২ × ২ × ৯
= ২ × ২ × ৩ × ৩
= ২২ × ৩২
সুতরাং
নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা = (২ + ১) × (২ + ১) = ৯
২) ৭২
সংখ্যাটির মোট ভাজক আছে কতটি?
ক)
৯টি
খ)
১০টি
গ)
১১টি
ঘ)
১২টি
উত্তর:
ঘ) ১২টি
সমাধান:
৭২ = ২ × ৩৬
= ২ × ২ × ১৮
= ২ × ২ × ২ × ৯
= ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩
= ২৩ × ৩২
সুতরাং
নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা = (৩ + ১) × (২ + ১) = ১২
৩) ৫৪০
সংখ্যাটির কতগুলো ভাজক আছে?
ক)
১৮টি
খ)
২০টি
গ)
২২টি
ঘ)
২৪টি
উত্তর:
ঘ) ২৪টি
সমাধান:
৫৪০ = ২ × ২৭০
= ২ × ২ × ১৩৫
= ২ × ২ × ৩ × ৪৫
= ২ × ২ × ৩ × ৩ × ১৫
= ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৩ × ৫
= ২২ × ৩৩
× ৫১
সুতরাং
নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা = (২ + ১) × (৩ + ১) × (১ + ১) = ২৪
যেকোনো
সংখ্যার মৌলিক উৎপাদকগুলো বের করে তাদেরকে সূচকের সাহায্যে প্রকাশ করতে হবে। ভাজক সংখ্যা
হবে প্রত্যেকটি উৎপাদকের সূচকের সঙ্গে ১ যোগ করে প্রাপ্ত সংখ্যাগুলোর ধারাবাহিক গুণফলের
সমান।
৪) ১০০৮
এর কতটি ভাজক আছে?
ক)
২০টি
খ)
২৪টি
গ)
২৮টি
ঘ)
৩০টি
উত্তর:
ঘ) ৩০টি
সমাধান:
১০০৮ = ২ × ৫০৪
= ২ × ২ × ২৫২
= ২ × ২ × ২ × ১২৬
= ২ × ২ × ২ × ২ × ৬৩
= ২ × ২ × ২ × ২ × ৩ × ২১
= ২ × ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩
× ৭
= ২৪ × ৩২
× ৭১
সুতরাং
নির্নেয় ভাজক সংখ্যা = (৪ + ১) × (২ + ১) × (১ + ১) = ৩০
৫) নিঃশেষে
বিভাজ্য না হলে কোনটি নির্ভুল?
ক)
ভাজ্য = (ভাজক × ভাগফল) + ভাগশেষ
খ)
ভাজ্য = (ভাগশেষ × ভাগফল) + ভাজক
গ)
ভাজ্য = (ভাজক + ভাগশেষ) + ভাগফল
ঘ)
ভাজ্য = (ভাজক + ভাগফল) + ভাগশেষ
উত্তর:
ক) ভাজ্য = (ভাজক × ভাগফল) + ভাগশেষ
৬) ১২
ও ৯৬ এর মধ্যে (এই দুটি সংখ্যাসহ) কয়টি সংখ্যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য?
ক)
২১
খ)
২২
গ)
২৩
ঘ)
২৪
উত্তর:
খ) ২২টি
সমাধান:
১ থেকে ৯৬ পর্যন্ত ৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা আছে = ৯৬ ÷ ৪ = ২৪টি
কিন্তু
এর মধ্যে ৪ ও ৮ আছে যা ১২ অপেক্ষা ছোট ও ৪ দ্বারা বিভাজ্য।
সুতরাং
১২ ও ৯৬ এর মধ্যে ৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা = ২৪ – ২ = ২২টি
৭) নিচের
কোনটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য?
ক)
২১৪১৩৩
খ)
৫১০০৫৬
গ)
৩২২৫৬৯
ঘ)
৯৫২২১৭
উত্তর:
খ) ৫১০০৫৬
সমাধান:
একক দশক স্থানের অঙ্ক দুইটি দ্বারা গঠিত সংখ্যা
৪ দ্বারা বিভাজ্য হলে সংখ্যাটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য। এখানে, ৫১০০৫৬ এর শেষ দুটি অঙ্ক অর্থাৎ
৫৬ যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য। (৫৬ ÷ ৪ = ১৪)
৮) নিচের
কোনটি ২ এবং ৭ দ্বারা বিভাজ্য?
ক)
৩৬৫
খ)
৩৬২
গ)
৩৬১
ঘ)
কোনটিই নয়।
উত্তর:
কোনোটিই নয়।
ব্যাখ্যা
: ৩৬১ এবং ৩৬৫ সংখ্যাদ্বয় ২ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
৩৬২
সংখ্যাটি ২ দ্বারা বিভাজ্য হলেও ৭ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
৯) ৯
দ্বারা বিভাজ্য ৩ অঙ্ক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার প্রথম অঙ্ক ৩, তৃতীয় অঙ্ক ৮ হলে মধ্যম
অঙ্কটি কত?
ক)
৬
খ)
৭
গ)
৮
ঘ)
৯
উত্তর:
খ) ৭
সমাধান:
ক)
৩ + ৬ + ৮ = ১৭; ৯ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
খ)
৩ + ৭ + ৮ = ১৮; ৯ দ্বারা বিভাজ্য।
গ)
৩ + ৮ + ৮ = ১৯; ৯ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
ঘ)
৩ + ৯ + ৮ = ২০; ৯ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
১০) ৩২
এবং ৬৪ এর ভাজক সংখ্যার পার্থক্য কত?
ক)
৩
খ)
২
গ)
১
ঘ)
০
উত্তর:
গ) ১
সমাধান:
৩২ = ২ × ২ × ২ × ২ × ২ = ২৫ ভাজক
সংখ্যা = ৫ + ১ = ৬
৬৪
= ২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ২ = ২৬ ভাজক সংখ্যা = ৬ + ১ = ৭
পার্থক্য
= ৭ – ৬ = ১
১১) নিম্নলিখিত
সংক্যাগুলোর মধ্যে কোনটির ভাজক সংখ্যা বিজোড়?
ক)
২০৪৮
খ)
১০২৪
গ)
৫১২
ঘ)
৪৮
উত্তর:
খ) ১০২৪
সমাধান:
পূর্ণ বর্গসংখ্যার ভাজক সংখ্যা বিজোড়। উপরিউক্ত সংখ্যাগুলোর মধ্যে শুধুমাত্র ১০২৪ পূর্ণবর্গ
সংখ্যা।
